Coût total et coût marginal

Cet exercice se propose d'introduire et d'étudier la notion de coût marginal de production. 

Dans une entreprise qui produit des parfums, on a modélisé le coût total de fabrication de \(x\) litres de parfum, exprimé en euros, par la fonction polynôme du second degré définie sur \([0; 10\ 000]\) par :  \(C_T\left(x\right) = -0,01x^2 + 100x + 2000\) .

1. Déterminer le coût total de fabrication de \(1000\) litres puis de \(1001\) litres de ce parfum.

2. En déduire le coût de production d'un litre de parfum supplémentaire si on en a déjà produit  \(\text{1000}\) .

3. Exprimer en fonction de \(x\)  la différence \(C_T\left(x + 1\right) - C_T\left(x\right)\) .

Ce nombre, noté \(C_m\left(x\right)\) , représente l'augmentation du coût total entraînée par la fabrication d'un objet supplémentaire lorsqu'on en a fabriqué \(x\) . Il s'appelle coût marginal de \(x\) .

4. Justifier que, pour la production du parfum de l'entreprise que nous avons considérée, le coût marginal décroît suivant le nombre de litres produits. Proposer une interprétation de ce phénomène.

5. Expliquer pourquoi ce modèle n'est pas adapté à décrire une production supérieure à \(\text{10 000}\) litres de parfum.

6. Déterminer la fonction dérivée de la fonction  \(C_T\) puis expliquer pourquoi, dans la pratique, on assimile le coût marginal à la dérivée du coût total.

7. Pour la fonction coût total considérée, l'erreur commise en assimilant le coût marginal à la dérivée du coût total est de `\text{1}` centime d'euros. Retrouver ce résultat puis l'utiliser pour exprimer l'erreur commise en pourcentage relatif au coût marginal de production de \(1\; 000\) litres de parfum.